50 bài tập về Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung (có đáp án 2024) | Toán 9

Bài tập dượt về góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung - Toán lớp 9

Bạn đang xem: 50 bài tập về Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung (có đáp án 2024) | Toán 9

I. Lý thuyết

1. Định nghĩa

- Cho lối tròn xoe (O) sở hữu Ax là tia tiếp tuyến bên trên điểm A và chạc cung AB. Khi cơ, $\widehat{BAx}$ là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung.

2. Định lí

- Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bẳng nửa số đo cung bị khuất.

3. Hệ quả

- Trong một lối tròn xoe, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp nằm trong chắn một cung thì cân nhau.

Ta có:

$\widehat{BAx}$ là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung của lối tròn xoe (O) chắn cung $\stackrel{⏜}{AB}$.

$\widehat{ACB}$ là góc nội tiếp của (O) chắn cung $\stackrel{⏜}{AB}$.

$\widehat{BAx}=\widehat{ACB}$.

4. Bổ đề

- Nếu góc $\widehat{BAx}$ với đỉnh A phía trên lối tròn xoe, một cạnh chứa chấp chạc cung AB sở hữu số đo bởi vì nửa số đo cung bị khuất $\stackrel{⏜}{AB}$ ở trong góc cơ thì Ax là một trong tia tiếp tuyến của lối tròn xoe.

II. Các dạng bài xích tập

Dạng 1: Chứng minh những góc cân nhau, những đoạn trực tiếp cân nhau, những đẳng thức hoặc những tam giác đồng dạng

Phương pháp giải:

- Sử dụng hệ trái khoáy của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung.

- Sử dụng hệ trái khoáy của góc nội tiếp.

- Chứng minh nhì nằm trong bởi vì góc loại thân phụ.

- Chứng minh những tam giác cân nhau.

Ví dụ 1: Cho nửa lối tròn xoe (O) 2 lần bán kính AB. Trên tia đối của tia AB lấy điểm M. Kẻ tiếp tuyến MN với lối tròn xoe (N là tiếp điểm). Vẽ NH vuông góc với AB. Chứng minh $\widehat{MNA}=\widehat{ANH}$.

Lời giải:

Vì $\widehat{ANB}$ là góc nội tiếp chắn nửa lối tròn xoe (AB là lối kính)

$\Rightarrow \widehat{ANB}$là góc vuông (hệ quả)

Xét tam giác ANH và tam giác ABN có:

$\widehat{A}$ chung

$\widehat{ANB}=\widehat{NHA}=90°$

Do cơ $\Delta$ANH đồng dạng với $\Delta$ABN (g – g)

$\Rightarrow \widehat{ANH}=\widehat{ABN}$ (hai góc tương ứng) (1)

Lại sở hữu MN là tiếp tuyến của lối tròn xoe (O) với N là tiếp điểm

$\Rightarrow \widehat{MNA}$ là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung.

$\Rightarrow \widehat{MNA}=\frac{1}{2}\stackrel{⏜}{AN}$ (định lí) (2)

Lại sở hữu $\widehat{ABN}$ là góc nội tiếp chắn cung $\stackrel{⏜}{AN}$

$\Rightarrow \widehat{ABN}=\frac{1}{2}\stackrel{⏜}{AN}$ (định lí) (3)

Từ (2) và (3) $\Rightarrow \widehat{ABN}=\widehat{MNA}$ (4)

Từ (1) và (4) $\Rightarrow \widehat{MNA}=\widehat{ANH}$ (điều cần hội chứng minh).

Ví dụ 2: Cho đường thẳng liền mạch d ko hạn chế lối tròn xoe (O), vẽ 2 lần bán kính CD vuông góc với d bên trên I. Kẻ tiếp tuyến IA với lối tròn xoe (O). Đường trực tiếp CA hạn chế (d) bên trên B. Chứng minh IA = IB.

Lời giải:

Ta có:

$\widehat{CAD}$ là góc nội tiếp chắn nửa lối tròn xoe (do sở hữu CD là lối kính)

$\Rightarrow \widehat{CAD}$ là góc vuông

$\Rightarrow \widehat{CAD}=90°$

Xét tam giác CBI vuông bên trên I tao có:

$\widehat{BCI}+\widehat{CBI}=90°$ (hai góc nhọn phụ nhau)

$\Rightarrow \widehat{CBI}=90°-\widehat{BCI}$ (1)

Ta có:

$\widehat{DAB}=\widehat{DAI}+\widehat{IAB}$

$\iff 90°=\widehat{DAI}+\widehat{IAB}$

$\Rightarrow \widehat{IAB}=90°-\widehat{DAI}$ (2)

Lại có: $\widehat{ACD}$là góc nội tiếp chắn $\stackrel{⏜}{AD}$

$\widehat{DAI}$ là góc tạo nên bởi vì tiếp tuyến và chạc cung chắn $\stackrel{⏜}{AD}$.

Do đó:

$\widehat{DAI}=\widehat{ACD}$ ( nằm trong chắn $\stackrel{⏜}{AD}$)

Mà A, C, B trực tiếp sản phẩm và C, D, I trực tiếp sản phẩm nên

$\widehat{DAI}=\widehat{BCI}$ (3)

Từ (1) (2) (3) $\Rightarrow \widehat{IAB}=\widehat{CBI}$

Xét tam giác AIB có:

$\widehat{IAB}=\widehat{CBI}$

Do cơ tam giác AIB cân nặng bên trên I (dấu hiệu nhận biết)

=> IA = IB (tính chất).

Dạng 2: Chứng minh hai tuyến phố trực tiếp tuy vậy tuy vậy, hai tuyến phố trực tiếp vuông góc, một tia là tiếp tuyến của lối tròn

Phương pháp giải:

Xem thêm: Những người bạn | Netflix

- Sử dụng hệ trái khoáy về góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung hoặc hệ trái khoáy nhì góc nội tiếp.

- Chứng minh tia vuông góc với nửa đường kính nhằm suy đi ra tiếp tuyến.

Ví dụ 1: Cho lối tròn xoe (O; R) và chạc AB (AB < 2R). Gọi Phường là vấn đề ở trung tâm cung nhỏ AB. Gọi C là vấn đề ngẫu nhiên nằm trong chạc AB. PC hạn chế lối tròn xoe bên trên D. Chứng minh PA là tiếp tuyến của lối tròn xoe nước ngoài tiếp tam giác ACD.

Lời giải:

Ta có:

$\widehat{ADP}$ là góc nội tiếp của lối tròn xoe (O) chắn cung $\stackrel{⏜}{AP}$.

$\widehat{BAP}$ là góc nội tiếp của lối tròn xoe (O) chắn cung $\stackrel{⏜}{BP}$

Mà Phường là vấn đề ở trung tâm cung $\stackrel{⏜}{AB}$

=> sđ $\stackrel{⏜}{AP}$ = sđ $\stackrel{⏜}{BP}$

Do đó: $\widehat{ADP}$ = $\widehat{BAP}$ (hệ quả) (*)

Vẽ tia Ax là tiếp tuyến của lối tròn xoe nước ngoài tiếp tam giác ADC với A là tiếp điểm

$\Rightarrow \widehat{CA\text{}x}$ là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và $\widehat{CA\text{}x}$ chắn cung $\stackrel{⏜}{CA}$

Lại sở hữu $\widehat{CDA}$ là góc nội tiếp của lối tròn xoe nước ngoài tiếp tam giác CDA và $\widehat{CDA}$chắn cung $\stackrel{⏜}{CA}$

Do cơ $\widehat{CDA}=\widehat{CAx}$ (hệ quả) (**)

Mà $\widehat{CDA}$ đó là $\widehat{ADP}$. Kết phù hợp với (*) và (**)

$\Rightarrow \widehat{CA\text{}x}=\widehat{BAP}$

Hay Ax trùng với AP

=> AP là tiếp tuyến của lối tròn xoe nước ngoài tiếp tam giác ACD với A là tiếp điểm.

Ví dụ 2: Cho lối tròn xoe (O; R), A là vấn đề cố định và thắt chặt bên trên lối tròn xoe. Kẻ tiếp tuyến Ax với (O) và lấy M là vấn đề ngẫu nhiên nằm trong tia Ax. Vẽ tiếp tuyến loại nhì MB với lối tròn xoe (O). Gọi I là trung điểm của MA, K là uỷ thác điểm của BI với (O).

a) Chứng minh tam giác IKA và tam giác IAB đồng dạng. Từ cơ suy đi ra tam giác IKM đồng dạng với tam giác IMB.

b) Giả sử MK hạn chế (O) bên trên C. Chứng minh BC tuy vậy song với MA.

Lời giải:

a) Ta có:

$\widehat{ABK}$ là góc nội tiếp chắn cung $\stackrel{⏜}{AK}$ (1)

$\widehat{KAI}$ là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn cung $\stackrel{⏜}{AK}$ (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow \widehat{ABK}=\widehat{KAI}$(hệ quả)

Xét tam giác IKA và tam giác IAB có:

$\widehat{AIK}$ chung

$\widehat{ABK}=\widehat{KAI}$ (chứng mnh trên)

Do cơ $\Delta$IKA $~$$\Delta$IAB (g – g)

Chứng minh tương tự động tao sẽ tiến hành $\Delta$IKM$~$$\Delta$IMB (c – g – c).

b) Từ câu a tao sở hữu $\Delta$IKM$~$$\Delta$IMB $\Rightarrow \widehat{IMK}=\widehat{KBM}$(hai góc tương ứng) (3)

Lại có:

$\widehat{BCK}$ là góc nội tiếp chắn cung $\stackrel{⏜}{BK}$

$\widehat{KBM}$ là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn cung $\stackrel{⏜}{BK}$

Do cơ $\widehat{BCK}=\widehat{KBM}$(4)

Từ (3) và (4) $\Rightarrow \widehat{IMK}=\widehat{BCK}$

Mà nhì góc này ở địa điểm so sánh le vô nên hai tuyến phố trực tiếp BC và AM tuy vậy song cùng nhau.

III. Bài tập dượt tự động luyện

Bài 1: Cho điểm A ở ngoài lối tròn xoe (O). Qua A kẻ nhì tiếp tuyến AB; AC với (O), B; C là nhì tiếp điểm. Kẻ cát tuyến AMN với (O) (M nằm trong lòng A và N)

a) Chứng minh: $A{B}^2=AM.AN$

b) Gọi H là uỷ thác điểm của AO và BC. Chứng minh AH.AO = AM.AN.

c) Đoạn trực tiếp AO hạn chế lối tròn xoe (O) bên trên I. Chứng minh I là tâm lối tròn xoe nội tiếp tam giác ABC.

Bài 2: Cho lối tròn xoe (O) nước ngoài tiếp tam giác ABC. Tiếp tuyến bên trên A hạn chế BC ở I.

a) Chứng minh: $\frac{IB}{IC}=\frac{A{B}^2}{A{C}^2}$.

b) Tính IA; IC biết AB = 20cm; AC = 28cm; BC = 24cm.

Bài 3: Cho tam giác ABC nội tiếp lối tròn xoe (O). Tiếp tuyến bên trên A của (O) hạn chế BC bên trên Phường.

a) Chứng minh tam giác PAC và tam giác PBA đồng dạng.

b) Chứng minh $P{A}^2=PB.PC$.

c) Tia phân giác vô của góc A hạn chế BC và (O) theo lần lượt bên trên D và M. Chứng minh $M{B}^2=MA.MD$.

Bài 4: Cho tam gác ABC nội tiếp lối tròn xoe (O), At là tiếp tuyến của lối tròn xoe (O). Đường trực tiếp tuy vậy song với At hạn chế AB và AC theo lần lượt bên trên M và N. Chứng minh AB.AM = AC.AN.

Bài 5: Cho hai tuyến phố tròn xoe (O) và (O’) hạn chế nhau bên trên A và B. Qua A vẽ tiếp tuyến Ax với (O) và hạn chế (O’) bên trên E. Qua A vẽ tiếp tuyến Ay với (O’) hạn chế (O) bên trên D. Chứng minh $A{B}^2=BD.BE$.

Bài 6: Cho hình thang ABCD (AB / CD) sở hữu $B{D}^2=AB.CD$. Chứng minh lối tròn xoe nước ngoài tiếp tam giác ABD xúc tiếp với BC.

Bài 7: Cho hình vuông vắn ABCD sở hữu cạnh 2cm. Tính nửa đường kính của lối tròn xoe trải qua A và B hiểu được đoạn tiếp tuyến kẻ kể từ D cho tới lối tròn xoe cơ bởi vì 4cm.

Bài 8: Cho tam giác ABC nội tiếp lối tròn xoe (O) và AB < AC. Đường tròn xoe (I) trải qua B và C, xúc tiếp với AB bên trên B hạn chế đường thẳng liền mạch AC bên trên D. Chứng minh OA và BD vuông góc cùng nhau.

Bài 9: Cho hai tuyến phố tròn xoe (O) và (I) hạn chế nhau ở C và D, vô cơ tiếp tuyến công cộng MN tuy vậy song với cát tuyến EDF, M và E nằm trong (O), N và F nằm trong (I), D nằm trong lòng E và F. Gọi K, H theo dõi trật tự là uỷ thác điểm của NC, MC với EF. Gọi G là uỷ thác điểm của EM, FN. Chứng minh:

a) Tam giác GMN và tam giác DMN cân nhau.

b) GD là lối trung trực của KH.

Bài 10: Cho hình bình hành ABCD, $\widehat{A}\le 90°$. Đường tròn xoe nước ngoài tiếp tam giác BCD hạn chế AC ở E. Chứng minh BD là tiếp tuyến của lối tròn xoe nước ngoài tiếp tam giác AEB.

Xem thêm thắt những dạng bài xích tập dượt Toán lớp 9 sở hữu đáp án và câu nói. giải cụ thể khác:

Bài tập dượt về góc sở hữu đỉnh ở trong lối tròn xoe, góc sở hữu đỉnh ở ngoài lối tròn xoe và cơ hội giải

Cung chứa chấp góc, những vấn đề về quỹ tích, dựng hình và cơ hội giải

Xem thêm: Công thức tính chất đường trung tuyến trong tam giác

Tứ giác nội tiếp và cơ hội giải bài xích tập

Đường tròn xoe nội tiếp, Đường tròn xoe nước ngoài tiếp và cơ hội giải bài xích tập

Độ nhiều năm lối tròn xoe, chừng nhiều năm cung tròn xoe và cơ hội giải bài xích tập